Estatística I,

30/09/2008

Resumo:
Álgebra de acontecimentos
Descrição:

Experiência aleatória e espaço de resultados. Acontecimentos. Acontecimentos simples e compostos. Acontecimentos complementar, implica, intersecção, reunião e diferença. Acontecimentos disjuntos. Acontecimento impossível e acontecimento certo. Propriedades válidas para conjuntos e acontecimentos. Exemplos.

Experiências aleatórias
- É toda a experiência que apresenta as seguintes características:
1. Pode realizar-se repetidamente nas mesmas condições.

2. Dá um resultado de entre um numero de resultados possíveis conhecidos antes da realização da experiência.

3. De entre os possíveis resultados não se tem conhecimento suficiente sobre qual deles se irá obter.


Ex. Lançamento de um dado equilibrado ou não viciado e observar a face que fica voltada para cima:
Espaço de resultados é o conjunto de todos os resultados possíveis associados a uma experiência aleatória, também designada por espaço.

Espaço de resultados: Ω, S ou U

Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}
Acontecimento: A - Saír um numero par de pintas: A={2, 4, 6}

Acontecimentos desgnam-se geralmente por letras maiusculas.
Diz-se que se realizou o acontecimento A quando oresultado da experiencia pertence a A.
Alguns acontecimentos são consituidos por um só resultado:
Chamam-se acontecimentos elementares
{1},{2},{3},{4},{5},{6} - Acontecimentos elementares

Acontecimentos compostos
são os constituidos pos mais que um resultado.
Ex.: A= {2, 4, 6}

Terminologia própria dos acontecimentos
Existindo um paralelismo entre conjuntos e acontecimentos, há no entanto uma terminologia própria para acontecimentos.
Assim, representando os acontecimentos por A, B, C, etc... temos:

- Acontecimento complementar do acontecimento A
Representa-se por Ᾱ ou Ac e é o acontecimento constituído por todos os resultados de Ω que não estão em A.

Ᾱ realiza-se sse A não se realizar

Se A={2, 4, 6} então Ᾱ={1, 3, 5}

- Acontecimento A implica a realização do acontecimento B
Sse todo o resultado de A é um resultado de B; indica-se este facto escrevendo: A C B
C = A está contido em, ou implica B

Acontecimento Intersecção: Intersecção dos acontecimentos A e B, A∩B é o acontecimento que se realiza sse os acontecimentos A e B se realizarem de forma simultânea.

Acontecimento reunião ou união: reunião ou união dos acontecimentos A e B, AUB, é o acontecimento que se realiza quando pelo menos um dos acontecimentos A ou B se realiza.

Ω

A U B

Acontecimento diferença:- acontecimento diferença entre A e B, A_B, A\ B, é o acontecimento que se realiza sempre que A se realizar sem que B se realize.

→ A ∩ ¯B = A – (A ∩ B) → intercessão

Acontecimentos disjuntos:- acontecimentos disjuntos ou mutuamente exclusivos, são acontecimentos em que a realização de um deles implica a não realização do outro (não se interceptam)

Acontecimento impossível:- é um acontecimento que resulta da intercepção de acontecimentos mutuamente exclusivos. É um acontecimento que nunca ocorre em determinadas experiências aleatórias.

Acontecimento certo:- acontecimento que ocorre sempre. É o próprio espaço de resultados Ω.

Já que existe um paralelismo entre conjuntos e acontecimentos, recordemos algumas propriedades dos conjuntos que são, então, válidos para os acontecimentos:

1. Comutatividade

A ∩ B = B ∩ A (intercessão)

A U B = B U A ( reunião)

2. Assossiatividade

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

A U (B U C) = (A U B) U C

3. Distributividade

A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

4. Idempotência

A U A = A

A ∩ A = A

A ∩ B = A

5. Se A C B (está contido), então = Absorção

A U B = B

6. Se A U Ω = Ω ∕ A U Ф = A (onde Ф = conjunto vazio)

A ∩ Ω = A ∕ A ∩ Ф = Ф

7. A U A_ = Ω Disjuntos ou mutuamente exclusivos
A ∩ A_ = Ф são incompatíveis e não se interceptam

8. ¯A¯ Ū ¯B¯ =¯A¯ ∩ ¯B¯ Leis de Morgan

¯A¯∩¯B¯ =¯A¯ U ¯B¯

=

9. A = A Dupla negação

(agradeço a colaboração da Christine Campos)